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四川省泸州市2018-2019学年高一上学期期末统一考试数学试题(解析版)

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四川省泸州市 2018-2019 学年高一上学期期末统一考试数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1. 的弧度数是(



A.

B.

【答案】C 【解析】

弧度,

弧度,则

2.下列关系中,正确的是

C.

D.

弧度 弧度,故选 C.

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用元素与集合的关系依次对选项进行判断即可.

【详解】选项 A:

,错误;

选项 B, ,错误;

选项 C, ,正确; 选项 D, 与 是元素与集合的关系,应该满足 ,故错误; 故选:C. 【点睛】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.

3.半径为 2 的扇形 OAB 中,已知弦 AB 的长为 2,则 的长为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知可求圆心角的大小,根据弧长公式即可计算得解.

【详解】设扇形的弧长为 l,圆心角大小为



∵半径为 2 的扇形 OAB 中,弦 AB 的长为 2, ∴,





故选:C.

【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用,考查了数形结合思想的应用,属于基础题.

4.若

,则角 终边所在象限是

A. 第一或第二象限

B. 第一或第三象限

C. 第二或第三象限

D. 第三或第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用同角三角函数基本关系式可得

,结合正切值存在可得角 终边所在象限.

【详解】

,且 存在,

角 终边所在象限是第三或第四象限.

故选:D.

【点睛】本题考查三角函数的象限符号,是基础题.

5.函数

的零点所在的区间为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

可判断 在

上为增函数,再由



,可得函数

的零点所在的区间.

【详解】函数

的定义域为

∴在

上为增函数,

,又





上都为增函数,







∴函数

的零点所在的区间为 .

故选:A.

【点睛】本题考查函数零点的判定,考查函数的单调性的判断及应用,是基础题.

6.已知函数

,则下列判断正确的是

A. 函数 是奇函数,且在 R 上是增函数 B. 函数 是偶函数,且在 R 上是增函数 C. 函数 是奇函数,且在 R 上是减函数 D. 函数 是偶函数,且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】 求出 的定义域,判断 的奇偶性和单调性,进而可得解.

【详解】 的定义域为 R,且



∴ 是奇函数;

又和

都是 R 上的增函数;

是 R 上的增函数. 故选:A. 【点睛】本题考查奇偶性的判断,考查了指数函数的单调性,属于基础题. 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 的顶点与原点 O 重合,它的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边 OP 交单位圆 O 于点 P,则点 P 的坐标为

A.



B.



C.



D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用任意角的三角函数的定义求得点 P 的坐标.

【详解】设

,由任意角的三角函数的定义得,





点 P 的坐标为



故选:D.

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,是基础题.

8.已知幂函数 的图象过点 ,则 的值为

A. 【答案】A 【解析】 【分析】 幂函数

B.

C.

D.

的图象过点 ,得到 的值,得到函数的解析式,再代入值计算即可.

【详解】∵幂函数

的图象过点 ,









故选:A. 【点睛】本题考查了幂函数的解析式和函数值,属于基础题.

9.函数

的部分图象如图所示,则 , 的值分别是( )

A. ,

B. ,

C. ,

D. ,

【答案】A 【解析】 试题分析:根据图象的两个点 A、B 的横坐标,得到四分之三个周期的值,得到周期的值,做出 ω 的值,把图象所 过的一个点的坐标代入方程做出初相,写出解析式,代入数值得到结果.

由图象可以看出正弦函数的四分之三个周期是

又由函数 f(x)的图象经过

考点:三角函数图像和性质

,故选 A

10.已知





,则下列关系中正确的是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用函数的单调性、正切函数的值域即可得出.

【详解】



,∴









则下列关系中正确的是:



故选:C.

【点睛】本题考查了指对函数的单调性、三角函数的单调性的应用,属于基础题.

11.函数 满足:

为偶函数: 在

上为增函数 若

,且

的大小关系是

A.

B.

C.

D. 不能确定

,则



【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意,由

为偶函数可得函数 的对称轴为 ,进而结合函数的单调性可得

结合

,且

分析可得

,据此分析可得答案.

【详解】根据题意,函数 满足

为偶函数,则函数 的对称轴为 ,则有

又由 在

上为增函数,则 在

上为减函数,



,则



又由

,则



则有



又由

,则



故选:A.

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,涉及函数的对称性,属于中档题.

12.用区间 表示不超过 x 的最大整数,如



,设

,若方程

个实数根,则正实数 k 的取值范围为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作出

的图象与

【详解】方程

的图象,观察有且只有 3 个交点时 k 的取值范围即可得解.

有且只有 3 个实数根等价于

的图象与

的图象

上为减函数, ,
有且只有 3

有且只有 3 个交点,



时,

,当

,当

时,

时, ,



时,

,以此类推

如上图所示,实数 k 的取值范围为:



即实数 k 的取值范围为: ,

故选:B.

【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题,考查了数形结合的数学思想方法,属于中档题.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13.已知函数

其中 且 的图象过定点 ,则 的值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据指数函数的图象过定点 ,即可求出.

【详解】函数

其中 且 的图象过定点 ,

,,





故答案为:1.

【点睛】本题考查了指数函数的图象恒过定点 的应用,属于基础题.

14.当

时,使

成立的 x 的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据正切函数的图象,进行求解即可.

【详解】由正切函数的图象知,当





时,





即实数 x 的取值范围是



故答案为: 【点睛】本题主要考查正切函数的应用,利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键.

15.函数

在 上存在零点,则实数 a 的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】



可得

,求出

在 上的值域,则实数 a 的取值范围可求.

【详解】由

,得

,即





,得





又∵函数

在 上存在零点,



即实数 a 的取值范围是



故答案为:



【点睛】本题考查函数零点的判定,考查函数值域的求法,是基础题.

16.设函数

和函数

,若对任意

都有

数 a 的取值范围为______.

使得

,则实

【答案】

【解析】

【分析】

先根据 的单调性求出 的值域 A,分类讨论求得 的值域 B,再将条件转化为 A

【详解】



上的递减函数,

∴ 的值域为

,令 A=





的值域为 B,

因为对任意

都有

使得

,则有 A ,



,当 a=0 时,

不满足 A ;

,进行判断求解即可.

当 a>0 时,

,∴

解得 ;

当 a<0 时,

,∴不满足条件 A ,

综上得 .

故答案为 . 【点睛】本题考查了函数的值域及单调性的应用,关键是将条件转化为两个函数值域的关系,运用了分类讨论的数

学思想,属于中档题.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
17.计算下列各式的值.

(1)



(2)

【答案】(1) ;(2)0.

【解析】 【分析】
进行分数指数幂和根式的运算即可; 进行对数的运算即可.

【详解】 原式



原式



【点睛】本题考查分数指数幂、根式和对数的运算,以及对数的换底公式,属于基础题.

18.已知



(1)若 在第三象限,求

的值.

(2)求

的值.

【答案】(1) ;(2)-3.

【解析】

【分析】

直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果.

直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果.

【详解】 由于



所以



又 在第三象限,

故:





则:



由于:



所以:

【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用和诱导公式的应用,属于基础题.

19.已知集合

且 和集合

(Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)若全集 ,集合

,且

【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)

.

【解析】

【分析】

Ⅰ 由函数的定义域及值域的求法得 , ,可求

,求 a 的取值范围.

Ⅱ 先求解 C,再由集合的补集的运算及集合间的包含关系得

,解得 .

【详解】 Ⅰ 由



,得

,即



解不等式

,得 ,即



所以



Ⅱ 解不等式

得:

,即











所以

,解得:



【点睛】本题考查了函数的定义域及值域的求法,考查了集合的交集、补集的运算及集合间的包含关系,属于简单 题.

20.某种树木栽种时高度为 A 米 为常数 ,记栽种 x 年后的高度为 ,经研究发现, 近似地满足



其中

,a,b 为常数,

,已知

,栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的 3 倍.

(Ⅰ)求 a,b 的值;

(Ⅱ)求栽种多少年后,该树木的高度将不低于栽种时的 5 倍 参考数据:





【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ)5 年.

【解析】

【分析】

Ⅰ由



Ⅱ 解不等式

联立解方程组可得; ,利用对数知识可得.

【详解】 Ⅰ









,即





联立 解得 , ,

Ⅱ由Ⅰ得

,由









故栽种 5 年后,该树木的高度将不低于栽种时的 5 倍. 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算,考查了函数的实际应用问题,属于中档题.

21.已知函数



(Ⅰ)求函数 的单调递减区间;

(Ⅱ)若函数 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象对应的函数为 ,且当



时,

,求

的值.

【答案】(Ⅰ)

, ;(Ⅱ) .

【解析】

【分析】

Ⅰ 由三角函数的单调性可得函数 的单调递减区间; Ⅱ 由三角函数图象的平移得

的解析式,由诱导公式及

角的范围得:

,所以

,代入运算得解.

【详解】 Ⅰ 由



解得: 即函数

, 的单调递减区间为:

,;

Ⅱ 将函数 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象对应的函数为 ,







,即









得:





由诱导公式可得



所以



所以



【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换,涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题,

属于中档题.

22.已知函数 是定义在 R 上的奇函数,当 时,



(Ⅰ)求函数 在 R 上的解析式;

(Ⅱ)若

,函数

,是否存在实数 m 使得 的最小值为 ,若存在,求 m 的

值;若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)存在实数 使得 的最小值为 .

【解析】

【分析】

Ⅰ 根据奇函数的对称性进行转化求解即可.

Ⅱ 求出 的表达式,利用换元法转化为一元二次函数,通过讨论对称轴与区间的关系,判断最小值是否满足条

件即可.

【详解】 Ⅰ 若 ,则



∵当 时,

且 是奇函数,

∴当

时,



即当 时,







Ⅱ若







,∵

,∴



则 等价为



对称轴为





,即

时, 在 上为增函数,此时当 时,最小,



,即 成立,



,即

时, 在 上为减函数,此时当 时,最小,



,此时不成立,



,即

时, 在 上不单调,此时当

时,最小,





此时 条件. 综上只有当

在 才满足条件.

时是减函数,当

时取得最小值为

,即此时不满足

即存在存在实数 使得 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及利用换元法转化为一元二次函数,结合一元二次函数单调性的性质 是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.



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