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2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.2正弦函数、余弦函数的单调性与最值课


【课标要求】 1.借助函数图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如 单调性、最大和最小值、图象及与 x 轴的交点等). 2.能利用性质解决一些简单问题.

自主学习 基础认识
正、余弦函数的图象与性质 正弦函数

图象

值域

[-1,1]

余弦函数 [-1,1]

单调性

在???2kπ-π2,2kπ+π2??? (k∈Z)上递增,
在???2kπ+π2,2kπ+32π??? (k∈Z)上递减

在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上递 增,
在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递 减

最值

x=2kπ+π2(k∈Z)时,ymax=1;

x=2kπ(k∈Z)时,

x=2kπ-π2(k∈Z)时,ymin=-

ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时, ymin=-1

1

[化解疑难] 解读正、余弦函数的性质
(1)正、余弦函数的所有性质都是针对自变量“x”本身而言的. (2)正、余弦函数的单调性: ①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求 与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步; ②单调区间要在定义域内求解; ③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时,要注 意用复合函数法来判断.

(3)正、余弦函数的最值 ①明确正、余弦函数的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1; ②对有些函数,其最值不一定就是 1 或-1,要依赖函数的定 义域来决定;
③形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求最值时,通常利用 “整体代换”,即令 ωx+φ=z,将函数转化为 y=Asinz 的形式求 最值.

|自我尝试|

1.函数 y=sin???x+π2???,x∈R 在(

)

A.???-π2,π2???上是增函数

B.[0,π]上是减函数

C.[-π,0]上是减函数

D.[-π,π]上是减函数

解析:y=sin???x+π2???=cosx,所以在区间[-π,0]上是增函数, 在[0,π]上是减函数.
答案:B

2.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( )

A.y=cos|x|

B.y=cos|-x|

C.y=sin???x-π2??? D.y=-sin2x

解析:y=cos|x|在???0,π2???上是减函数,排除 A;y=cos|-x|=cos|x|, 排除 B;y=sin???x-π2???=-sin???π2-x???=-cosx 是偶函数,且在(0,π) 上单调递增,符合题意;y=-sin2x在(0,π)上是单调递减的.
答案:C

3.函数 y=1-2cosπ2x 的最小值,最大值分别是( ) A.-1,3 B.-1,1 C.0,3 D.0,1
解析:∵-1≤cosπ2x≤1,∴-1≤y≤3. 答案:A

4.sin27π________sin???-185π???(填“>”或“<”).
解析:sin???-185π???=sin???-2π+π8???=sinπ8,因为 0<π8<27π<π2,y=sinx 在???0,π2???上单调递增,所以 sinπ8<sin27π,即 sin???-185π???<sin27π.
答案:>

课堂探究 互动讲练 类型一 求正、余弦函数的单调区间 [例 1] 求下列函数的单调区间: (1)y=cos2x;(2)y=2sin???π4-x???.

【解析】 (1)函数 y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间 分别由下面的不等式确定:2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ +π,k∈Z.
∴kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z. ∴函数 y=cos2x 的单调递增区间为???kπ-π2,kπ???,k∈Z,单调递 减区间为???kπ,kπ+π2???,k∈Z.

(2)y=2sin???π4-x???=-2sin???x-π4???,函数 y=-2sin???x-π4???的单调递 增、递减区间分别是函数 y=2sin???x-π4???的单调递减、递增区间.
令 2kπ+π2≤x-π4≤2kπ+32π,k∈Z. 即 2kπ+34π≤x≤2kπ+74π,k∈Z, 即函数 y=2sin???π4-x???的单调递增区间为???2kπ+34π,2kπ+74π???, k∈Z. 令 2kπ-π2≤x-π4≤2kπ+π2,k∈Z.

即 2kπ-π4≤x≤2kπ+34π,k∈Z.
即函数 y=2sin???π4-x???的单调递减区间为???2kπ-π4,2kπ+34π???, k∈Z.

方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)在求形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时, 应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即 通过求 y=Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如 y= Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上. (3)①ω<0 时,一般用诱导公式转化为-ω>0 后求解;②若 A<0, 则单调性相反.

跟踪训练 1 (1)下列函数,在???π2,π???上是增函数的是(

)

A.y=sinx B.y=cosx

C.y=sin2x D.y=cos2x

(2)函数 y=cosx 在区间[-π,a]上为增函数,则 a 的取值范围

是________.

(3)求函数 y=2sin???π3-2x???的单调递增区间.

解析:(1)因为 y=sinx 与 y=cosx 在???π2,π???上都是减函数,所以 排除 A,B.
因为π2≤x≤π,所以 π≤2x≤2π. 因为 y=sin2x 在 2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除 C. (2)因为 y=cosx 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数, 所以只有-π<a≤0 时满足条件,故 a∈(-π,0].

(3)由 y=2sin???π3-2x???,得 y=-2sin???2x-π3???. ∴要求函数 y=2sin???π3-2x???的单调递增区间,只需求出函数 y =2sin???2x-π3???的单调递减区间. 令π2+2kπ≤2x-π3≤32π+2kπ,k∈Z, 解之得51π2+kπ≤x≤1112π+kπ,k∈Z. ∴函数的单调递增区间为???51π2+kπ,1112π+kπ???(k∈Z). 答案:(1)D (2)(-π,0]

类型二 比较三角函数值的大小 [例 2] 比较下列各组数的大小: (1)sin250°与 sin260°;(2)cos158π与 cos149π.
【解析】 (1)∵函数 y=sinx 在[90°,270°]上单调递减,且 90°<250°<260°<270°,∴sin250°>sin260°.
(2)cos158π=cos???2π-π8???=cosπ8,cos149π=cos???2π-49π???=cos49π. ∵函数 y=cosx 在[0,π]上单调递减,且 0<π8<49π<π, ∴cosπ8>cos49π,∴cos158π>cos149π.

方法归纳
比较三角函数值大小的方法 (1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值. (2)不同名的函数化为同名函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.

跟踪训练 2 比较下列各组数的大小:
(1)cos???-π8???与 cos157π; (2)sin194°与 cos160°.

解析:(1)cos???-π8???=cosπ8,cos157π=cos???2π+π7???=cosπ7, ∵0<π8<π7<π,函数 y=cosx 在(0,π)上是减函数,
∴cosπ8>cosπ7,即 cos???-π8???>cos157π. (2)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°, cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°. ∵0°<14°<70°<90°,∴sin14°<sin70°. 从而-sin14°>-sin70°,即 sin194°>cos160°.

类型三 正、余弦函数的最值 [例 3] 求下列函数的值域: (1)y=cos???x+π6???,x∈???0,π2???; (2)y=2sin2x+2sinx-12,x∈???π6,56π???.

【解析】 (1)由 y=cos???x+π6???,x∈???0,π2???可得 x+π6∈???π6,23π???,

函数 y=cosx 在区间???π6,23π???上单调递减,

所以函数的值域为???-12,

3?

2

?.
?

(2)令 t=sinx,∴y=2t2+2t-12=2???t+12???2-1.

∵x∈???π6,56π???,∴12≤sinx≤1,即12≤t≤1,∴1≤y≤72,

∴函数 f(x)的值域为???1,72???.

方法归纳
求正、余弦函数最值问题的关注点 (1)形如 y=asinx(或 y=acosx)的函数的最值要注意对 a 的讨论. (2)将函数式转化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的形式. (3)换元后配方利用二次函数求最值.

跟踪训练 3 (1)函数 y=2sinx???0≤x≤π6???的值域是(

)

A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,1] D.[0,2]

(2)函数 y=2sin???2x+π3??????-π6≤x≤π6???的值域是________.

解析:(1)因为 0≤x≤π6,因为 0≤sinx≤12,

所以 0≤2sinx≤1,即函数的值域是[0,1].

(2)因为-π6≤x≤π6,所以 0≤2x+π3≤23π,

所以 0≤sin???2x+π3???≤1,从而 0≤2sin???2x+π3???≤2, 所以 0≤y≤2,即值域是[0,2].

答案:(1)C (2)[0,2]

|素养提升| 1.正弦、余弦函数单调性的三点说明 (1)正弦、余弦函数在定义域 R 上均不是单调函数,但存在单 调区间. (2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是 求值域(或最值)的关键一步. (3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时,要 注意使用复合函数的判断方法来判断.

2.正弦函数、余弦函数最值的释疑 (1)明确正、余弦函数的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1. (2)对有些正、余弦函数,其最值不一定是 1 或-1,要依赖函 数定义域来决定. (3)形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的最值通常利用“整 体代换”,即令 ωx+φ=z,将函数转化为 y=Asinz 的形式求最值.

|巩固提升|

1.函数 y=|sinx|的一个单调递增区间是( )

A.???-π4,π4??? C.???π,32π???

B.???π4,34π??? D.???32π,2π???

解析:由 y=|sinx|的图象,易得函数 y=|sinx|的单调递增区间 为???kπ,kπ+π2???,k∈Z.当 k=1 时,得???π,32π???为函数 y=|sinx|的一个 单调递增区间.
答案:C

2.函数 y=cos2x+3cosx+2 的最小值为( )
A.2 B.0 C.1 D.6 解析:令 cosx=t,t∈[-1,1],则 y=t2+3t+2=???t+32???2-14,所 以 t=-1 时,ymin=0. 答案:B

3.y=sinx,x∈???π6,23π???,则 y 的取值范围是________.
解析:由正弦函数图象,对于 x∈???π6,23π???,当 x=π2时,ymax=1, 当 x=π6时,ymin=12,从而 y∈???12,1???.
答案:???12,1???



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