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吉林省实验中学2008届高三第三次模拟考试(数学文)

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吉林省实验中学 2008 届高三年级第三次模拟考试

数学试题(文科)
A卷
一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.如图,阴影部分所表示的集合是( ) A. C1 A I B C. C1 A U B B. A I C1 B D. A U C1 B ( D.第四象限 ( D. ) )

2.若 sin 2α < 0, 且 tan α cos α < 0, 则角α 在 A.第一象限 3.曲线 y = A. B.第二象限 C.第三象限

3π 4

1 2 x x 2 + 5在x = 1 处的切线的倾斜角为 3
B.

π

3

C.

π

π
6
( )

4

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y = | x | C. y = x x
3

( x ∈ R)

B. y = ( )

( x ∈ R)

5. 函数 y = A sin(ωx + )( A > 0, ω > 0, | φ |<

π

1 x ( x ∈ R) 3 1 D. y = ( x ∈ Rx ≠ 0) x

10 x π + ) 11 6 10 x π B. y = 2 sin( ) 11 6
A. y = 2 sin( C. y = 2 sin( 2 x + D. y = 2 sin( 2 x

2

) 的图象 如图所示, y 的表达式为 则 (

)

π

π

6 6

) )

6.某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现 采用分层抽取容量为 45 人的样本, 那么高一, 高二, 高三年级抽取的人数分别为 ( ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20

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7.△ABC 中, AB =

3 , AC = 1, ∠B = 30 o ,则△ABC 的面积等于
B.

(

)

A.

3 2

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4
( )

8.若函数 f ( x) = A. (0,4)

mx 2 + mx + 1 的定义域为 R,则 m 的取值范围是
B.[0,4] C. [4,+∞ ) D. (0,4]

9.已知等差数列 {a n }中, a3 + a11 = 40, 则a 4 a 5 + a 6 + a 7 + a8 a 9 + a10 的值为 ( A.84 B.72 C.60 D.48

)

10.球 O 的截面把垂直截面的直径分成 1:3 两部分,若截面半径为 3 ,则球 O 的体积为 ( A.16 π B. )

16π 3

C.

32π 3

D. 4 3π

11.将函数 y = sin x 3 cos x 的图像向右平移了 n 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 n 的最小正值是 A. ( B. )

7π 6

π
2

C.

π
6

D.

π
3
( )

12.设 tan(α + β ) = A.

3 22

2 π 1 π , tan( β ) = , 则 tan(α + ) 的值是 5 4 4 4 3 13 B. C. 18 18

D.

13 22

B卷
二,填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 y = log 2 ( x +

1 ) 的最小值是 x

. .

14.若向量 a与满足b满足 | a |=| b |= 1, a与b的夹角为120 o , 则a a + a b = 15. f 设
1

( x)是函数f ( x) = log 2 ( x + 1)的反函数, 若[1 + f
.

1

( a )][ f + f

1

(b)] = 8, 则f ( a + b)

的值为 16.在 ( x +

1 7 ) 的展开式中, 含x 5与x 4 项的系数相等,则 a 的值是 a

.

三,解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 10 分)
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平面向量 a = (3,4), b = ( 2, x), c = ( 2, y ),已知a // b, a ⊥ c, 求b , c及b与c 的夹角.

18. (本小题满分 12 分) 已知: f ( x ) = 2 cos x + 2 3 sin x cos x + a
2

(a ∈ R, a为常数)

(1)若 x ∈ R, 求f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x )在[

π π

, ] 是最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 6 3

19. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是棱 AB 的中点. (1)求证:BC‖平面 A1MD1; (2)求二面角 A1—D1M—C 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 甲,乙两支足球队经过加时赛后比分仍为 0:0,现决定两队各派 5 名队员,每人 各射一点球以决胜负,如果这 10 名队员每人点球的命中率均为

1 (相互独立). 2

(1)求:恰好有三人射中的概率; (2)求:甲队 5 名队员连续有 3 人射中,另外 2 人未射中的概率; (3)求:两队各射完 5 个点球后,比分为 3:3 的概率.

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21. (本小题满分 12 分) 已知:定义域为 R 的函数 f ( x ) = ax x 在区间(0,
3

2 ) 内是增函数. 2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若 f (x ) 的极小值为-2,求实数 a 的值.

22. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n }的首项a1 = 1, 且公差d > 0 ,第二项,第五项,第十四项分别 是等比数列 {bn } 的第二项,第三项,第四项. (1)求数列 {a n }与{bn } 的通项公式; (2)设数列 {c n }对任意自然数n均有

c c1 c 2 + + L + n = a n +1 成立,求 b1 b2 bn

a1c1 + a 2 c 2 + L + a n c n 的值.

参考答案
一,选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.C 11.C 12.A 二,填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.1 14.

1 2

15.2 16.

5 3

三,解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 解: a = (3,4), b = ( 2, x ), a // b 3 x = 2 ( 4) ∴ x =

8 , 3

…………4 分

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c = (2, y )a ⊥ c y = 3 2
…………6 分 …………8 分 …………10 分 …………2 分 …………4 分

8 3 ∴ b = (2, ), c = (2, ), b c = 0 3 2

∴< b, c >= 90 o
18.解: f ( x ) = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x + a

= 2 sin(2 x +

π
6

) + a +1 2π =π 2

(1) f ( x )的最小正周期T = (2)由 x ∈ [

…………5 分 …………7 分 …………9 分 …………11 分 …………12 分

π π



1 π π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ∴ 1 ≤ 2 sin(2 x + ) ≤ 2 2 6 6

π π 5π , ]知2 x + ∈ [ , ] 6 3 6 6 6

∴ f ( x) max = 2 + a + 1, f ( x) min = 1 + a + 1

∴ 2a + 3 = 3, 解得a = 0
19. (本小题满分 12 分) 解法 1: (1)∵BC‖B1C1,B1C1‖A1D1,∴BC‖A1D1. 又 A1D1 平面 A1MD1,BC 平面 A1MD1 ∴BC‖平面 A1MD1;…………5 分 (2)设平面 A1MD1 与棱 DC 相交于点 N, 连结 D1N,则点 N 是 DC 的中点. ∴A1D1⊥平面 D1DCC1,A1D1 平面 A1MND1 ∴平面 A1MND1⊥平面 D1DCC1, 且 D1N 是交线. 过点 C 作 CH⊥D1N 于 H 点, 则 CH⊥平面 A1MND1, 再过 H 作 HO⊥D1M 于 O 点, 连结 CO,根据三垂线定理得 CO⊥D1M, 从而∠COH 是二面角 C—D1M—N, 也就是所求二面角 A1—D1M—C 的补二面角的平面角 设正方体的棱长为 2,则在 RtDND1中,由于DD1 = 2, DN = 所以有 cos ∠DD1 N =

…………8 分

1 DC = 1 , 2

DD1 DD + DN
2 1 2

=

2 5

=

2 5 . 5

在 RtCHN中,由于CN =

1 DC = 1, ∠NCH = ∠DD1 N ,所以有 2
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CH = CN cos ∠NCH = CN cos ∠DD1 N =
又由于可求得

2 5 . 5

D1 M =

A1 D12 + A1 M 2 =

A1 D12 + A1 A 2 + AM 2 = 3,

MC = CB 2 + BM 2 = 5 , D1C = D1C12 + C1C 2 = 2 2
所以在 MD1C中有 cos ∠D1CM =

D1C 2 + MC 2 D1 M 2 8+59 10 = = , 2 D1C MC 10 22 2 5

进而有 sin ∠D1CM = 1 根据三角形面积公式得

1 3 10 = . 10 10

D1 M CO = D1C MC sin ∠D1CM 3 CO = 2 2 5
从而在

3 10 CO = 2 10

RtCHO中, sin ∠COH =

CH 5 5 = , ∠COH = arcsin . CO 5 5 5 . 5
…………12 分

因此所求的二面角 A1 D1 M C的大小为π arcsin

解法 2:分别以直线 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D—xyz,并设 正方体的棱长为 2,则相关点的坐标分别为 A1(2,0,2),D1(0,0,2),C(0,2,0),M(2,1,0) …………6 分

设n = ( x, y, z )是平面A1 MD1的法向量, 则n1 D1 A1 = n1 A1 M = 0, 而且 D1 A1 = (2,0,0), D1 M = (2,1,2), 所以有 ( x, y, z ) (2,0,0) = 0 x = 0 , 即 ( x, y, z ) (2,1,2) = 0 2 x + y 2 z = 0

令z = 1, 则y = 2, x = 0, 从而n1 = (0,2,1).

…………8 分

再设 n 2 = ( x ′, y ′, z ′)是平面CMD1的法向量, 则n 2 D1C = n 2 D1 M = 0 ,

而且 D1C = (0,2,2), D1 M = (2,1,2), 所以有 ( x ′, y ′, z ′) (0,2,2) = 0 y ′ z ′ = 0 , 即 ( x ′, y ′, z ′) (2,1,2) = 0 2 x ′ + y ′ 2 z ′ = 0

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令 x ′ = 1, 则y ′ = z ′ = 2, 从而n2 = (1,2,2) 设 θ是所求二面角A1 D1 M C的平面角, 则θ 是钝角,并且有 …………10 分

cosθ = | cos < n1 , n 2 >|=

| n1 n 2 | | n1 | | n 2 |

=

2 5 , 5
…………12 分

即 θ = arccos(
3

2 5 2 5 ) = π arccos 为所求 5 5
3

20.解: (1) C10 ( ) (1 ) =
7

1 2

1 2

15 128

…………3 分

(2)由已知,甲队 5 名队员连续有 3 人射中,另外 2 人未射中的概率为

1 1 3 3 × ( ) 3 × (1 ) 2 = . 2 2 32
(3)两队各射完 5 个点球后,比分为 3:3 的概率为

…………7 分

1 1 1 1 25 3 3 C 5 × ( ) 3 × (1 ) 2 × C 5 × ( ) 3 × (1 ) 2 = . 2 2 2 2 256

…………12 分

21.解: (1) f ′( x ) = a 3 x , 依题意x ∈ (0,
2

2 )时, f ′( x) > 0, 即a 3 x 2 > 0 恒成立, 2
…………5 分

∴ a ≥ 3× (

2 2 3 3 ) = , 所以a的范围是 ,+∞ 2 2 2

2 (2)令 f ′( x) = 0, 即a 3 x = 0, 得x = ±

a 3 , (a ≥ ). 3 2

…………6 分

当 x 变化时, f ′( x)和f ( x) 的变化情况如下表: x

(∞,


a ) 3


0

a 3

(
+

a a , ) 3 3
0

a 3

(


a , ∞) 3

f ′(x) f (x)



极小值



极大值



∴x =

a 时, f ( x) 取极小值. 3

…………10 分

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故 f (

a a a ) = a ( ) ( ) 3 = 2解得 : a = 3. 3 3 3

…………12 分

22. (1)由题意得: (a1 + d )(a1 + 13d ) = ( a1 + 4d ) 2 , 且a1 = 1 解得: d = 2, 所以a n = 2n 1, 易得bn = 3 (2)由题意得:
n 1

.

…………5 分

cn = a n+1 a n = 2, 所以c n = 2 3n 1 (n ≥ 2)当n = 1, c1 = 3 bn
……………7 分

S n = a1c1 + a 2 c 2 + L + a n c n S n = 1 3 + 3 2 3 + 5 2 3 2 + L + (2n 1) 2 3n 1
3S n = 3 3 + 3 2 3 2 + L + (2n 3) 2 3 n 1 + (2n 1) 3 n 2 S n = 3 + 3 3 + 2 2 3 2 + L + 2 2 3 n 1 2(2n 1)3 n
…………9 分

= 4(3 + 3 2 + 33 + L + 3 n 1 ) 2(2n 1)3 n 3 × (3 n1 1) = 4 2(2n 1)3 n 3 1 = 2 3 n 6 2(2n 1) 3 n S n = 2(n 1) × 3 n + 3
…………11 分 …………12 分

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